Teoria fractalilor cu aplicaţii în
învăţarea asistată de calculator

1.Introducere

Teoria se datorează matematicianului Benoit Mandelbrot şi a fost elaborată în anii 60. Obiectul de studiu al teoriei îl reprezintă formele obiectelor, fenomenelor, în special al acelora cu grad mare de neregularitate. Termenul de fractal a fost utilizat de matematicieni începând din anul 1975, tocmai pentru a sugera mai clar obiectul de studiu şi anume mulţimi cu multiple "discontinuităţi", din care sunt formate plantele, animalele, obiectele din natură. De aceea teoria s-a mai numit şi "geometria formelor".
Pentru a fi o teorie matematică, era necesară o definiţie precisă a termenului de mulţime fractală, lucru care s-a dovedit extrem de greu, putându-se evidenţia doar proprietăţi ale mulţimilor numite fractali.

Termenul rămânând a fi definit mai târziu, se va considera o mulţime fractală, o mulţime care îndeplineşte cel puţin trei dintre condiţiile de mai jos:
1) are o structură fină, adică are elemente la orice scară;
2) este prea neregulată pentru a fi descrisă în limbajul geometriei euclidiene;
3) este autosimilară, eventual statistic autosimilară, adică elemente ale mulţimii reproduc întreaga mulţime;
4) are o dimensiune fractală (iarăşi un termen ce va trebui definit) mai mare decât dimensiunea topologică; se utilizează dimensiunea Hansdorff-Besickovici
5) este definită prin reguli simple, eventual recursive.

2.Exemple de mulţimi fractale

Definiţie 2.1. O mulţime de numere reale se numeşte total neconexă dacă nu există nici un segment inclus în de capete .

Definiţie 2.2. O mulţime se numeşte perfectă, dacă este identică cu mulţimea punctelor ei de acumulare.
În Anexa 3 sunt prezentate câteva exemple de mulţimi fractale.

Exemplul 2.1. Mulţimea lui Cantor (triadică)
Se consideră segmentul care se împarte în trei părţi egale şi se elimină partea din mijloc. Se repetă procedeul pentru segmentele rămase şi se obţine în final o mulţime triadică a lui Cantor pe care o notăm cu

Observaţie: , - mulţimea obţinută la pasul 1,¼, - la pasul n, atunci